מרוכבים וסדרה הנדסית 2מספרים מרוכבים 572 · שיעור 47

שיעור 47: מרוכבים וסדרה הנדסית 2

מספרים מרוכבים · 5 יחידות · שאלון 572

מספרים מרוכבים · שאלון 572

📄 התרגיל

סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים בהצגה קוטבית: קובעים אילו איברים ממשיים ואילו מדומים, ומחשבים סכום של 64 מחוברים בעזרת משפט דה־מואבר. קודם השאלה, ואחריה הפתרון 👇

📌 תזכורת – מה צריך לשאלה

איבר כללי בסדרה הנדסית:

a_n = a₁ · q^{n − 1}

משפט דה־מואבר:

(r · cisθ)ⁿ = rⁿ · cis(nθ)

מספר r · cisθ ממשי כאשר sinθ = 0 , ומדומה כאשר cosθ = 0 .

סכום סדרה הנדסית:

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

📝 השאלה

z₁ , z₂ , z₃ , … היא סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים שהמנה שלה היא q . z₁ נמצא ברביע הראשון.

בסעיפים א–ב של השאלה הראו כי q = z₁ או q = −z₁ , ומצאו: z₁ = √2 · cis(45°) = 1 + i .

ענו על הסעיפים ג–ד בעבור q = z₁ .

ג.z_{4n − 2} ו־z_4n הם שני איברים בסדרה ( n הוא מספר טבעי). קבעו בעבור כל אחד מן האיברים אם הוא מספר ממשי או מספר מדומה. נמקו את קביעתכם.

ד.חשבו את הסכום: z₁√2 + z₂(√2)² + … + z₆₄(√2)⁶⁴

סעיף ג – ממשי או מדומה

האיבר הראשון והמנה שווים ( q = z₁ ), לכן:

z_n = z₁ · z₁^{n − 1} = z₁ⁿ

לפי משפט דה־מואבר:

z_n = (√2)ⁿ · cis(45n)

האיבר z₄ₙ:

z_4n = (√2)⁴ⁿ · cis(45 · 4n) = 4ⁿ · cis(180n)

sin(180n) = 0 לכל n טבעי, ולכן החלק המדומה הוא 0 .

z_4n ממשי (הערך שלו 4ⁿ · (−1)ⁿ ).

האיבר z₄ₙ₋₂:

z_{4n − 2} = (√2)^{4n − 2} · cis(45(4n − 2)) = (√2)^{4n − 2} · cis(180n − 90)

cos(180n − 90) = 0 לכל n טבעי, ולכן החלק הממשי הוא 0 .

· המשך

cos(180n − 90) = 0 לכל n טבעי, ולכן החלק הממשי הוא 0 .

z_{4n − 2} מדומה.

✅

תשובה: z_4n – ממשי
z_{4n − 2} – מדומה

סעיף ד – הסכום

כל מחובר בסכום:

z_k(√2)^k = (√2)^k · cis(45k)(√2)^k = cis(45k)

המחוברים הם סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה cis(45°) והמנה שלה cis(45°) :

S₆₄ = cis(45°) · (cis⁶⁴(45°) − 1)cis(45°) − 1

לפי משפט דה־מואבר:

cis⁶⁴(45°) = cis(64 · 45°) = cis(2880°)

2880 = 8 · 360 , לכן cis(2880°) = cis(0°) = 1

S₆₄ = cis(45°) · (1 − 1)cis(45°) − 1 = 0

הסבר נוסף: כל 8 מחוברים רצופים הם 8 נקודות שמתפזרות באופן שווה על מעגל היחידה (הזוויות 45° , 90° , … , 360° ), והסכום שלהן 0 . ב־64 מחוברים יש 8 סיבובים כאלה.

✅

תשובה: 0

✅ סיימנו!

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא